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复变函数是将复数z映射到另一个复数w的关系。因为输入z既包含实部又包含虚部,输出w同样也有实部和虚部。
一般来说,w的实部和虚部都会是z的实部和虚部的函数。也就是说,如果f(z)表示复变函数,则f(z)的实部u和虚部v都会是x和y的函数,形式是u(x,y)和v(x,y)。
例如,如果函数为z^2,那么可以将z=x+yi展开为(x+yi)^2=x^2-y^2+2xyi。所以这个函数的实部为x^2-y^2,虚部为2xy。
要对复变函数进行积分、导数等积分运算,函数需要是可导的,也就是说在复平面内每个点都存在唯一的导数。如果函数在每个点都有唯一的导数,我们把这个函数称为全纯函数。
全纯函数在每个点的导数是通过极限定义的,与实函数一样,是极限Δf/Δz作为Δz趋于0的极限。但由于复数空间上z可以从任意角度进攻某点,所以全纯函数在每个点的导数都需要等于其从各个方向计算得到的导数。
例如z^3就是一个全纯函数,其导数是3z^2。但函数f(z)=2y+xi不是全纯的,因为从x轴和y轴方向计算导数结果不同。
复变函数要想可导(全纯),其实假虚部与虚部之间必须满足特定关系,称为卡西-里曼关系。
具体来说,如果复变函数f(z)在区域R内全纯,那么:
f的实部u与虚部v,其部分导数满足:∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = - ∂v/∂x
这两个等式就是卡西-里曼关系。
第一个定理表明,如果函数不满足卡西-里曼关系,则不可能全纯。第二个定理陈述了若实部与虚部满足连续性和可导性条件,且卡西-里曼关系得以成立,则函数在R区域内必定全纯。
我们再回顾z^3和2y+xI两个例子,发现z^3满足卡西-里曼关系因而全纯,而2y+xI不满足第二个关系所以不是全纯函数。
此外,如果函数在区域R内全纯,则它:
具有无限导数性
可以写成泰勒级数展开
其实部与虚部都满足拉普拉斯方程
总之,卡西-里曼关系是判断复变函数是否可导的重要条件。了解这些关系和定理对后续计算与应用都很重要。
复变积分可以看作是从复数a到复数b沿一条曲线进行函数f(z)的积分。但不同于实数函数的简单路径,复变函数可以沿多条路径积分,结果可能不同。
要计算复变函数f(z)从a到b沿曲线C的积分,可以将f(z)分解为实部U和虚部V,将dz分解为dx和dy,然后扩展积分内部得到四项积分。
若C可表示为参数方程形式x=x(t),y=y(t),则可以进行变元,将dx、dy写成dt的函数,并将积分限制α、β改写。这样就可以计算给定曲线C上的复变积分。
考疑积分定理描述了沿闭合曲线C计算复变函数f(z)的复积分。如果满足:
f(z)在C内外全纯
C是简单闭合曲线
C有有限个角点
那么复积分结果为0。
证明使用Green定理将积分分解为实积分,然后用可全纯函数满足的卡西-里曼关系简化消去积分内部。
考疑定理说明如果函数在区域内全纯,则其沿 nice 的闭合曲线的复积分为0。它在复变分析中具有重要应用。
| ML不等式证明需要使用一个初等结果,即模长积分定理:如果函数W(T)在区间[A,B]上是Piecewise连续的,则 | ∫ 从A到B W(T)dT | ≤∫从A到B | W(T) | dT。 |
为了证明ML不等式,首先需要将曲线C表示为参数方程Z(T),将复积分变换成关于参数T的积分。然后将f(Z(T))dZ/dT看作函数W(T),应用模长积分定理。
| 由于f(Z)在C上模长有界M,所以 | f(Z(T))dZ/dT | ≤M | dZ/dT | 。将此代入不等式中得∫从C f(Z)dZ≤M∫从C | dZ/dT | ,而后者等价于M×曲线长L。 |
示例计算了曲线C上单位复函数1/Z的模长积分上限。C为圆弧,长为π/2,函数模长上限为1/2。应用ML不等式得积分模长≤π/2。
ML不等式给出了积分模长的上限,但实际值可能小于上限。它只是提供一个参考值,不能用于近似计算具体积分。
高斯定理说明,如果函数f在简单封闭曲线C内单于,则C上的复积分等于0。
高斯公式认为,如果函数f在曲线C内单于,且点a在C内,则可用下式求出f在点a的值:
f(a) = (1/2πi)∫从C [f(z)/(z-a)] dz
但如果a在C外,此公式不适用,因为根据高斯定理,积分值为0。
证明过程是定义一个新函数G(z)=f(z)/(z-a),将计算曲线C上的积分等价为计算一个很小圆周C’上的积分。
然后利用极坐标表达式写出圆周C’方程,将积分化为改变量积分。当半径R趋于0时,极限值即为f(a)。
高斯公式说明,只要知道函数f在边界C上的值,就可计算出它在C内任意点a的值。
将公式对a求导,可以得到函数在点a的n阶导数的积分表达式。a代表C内任意点,实际上是一个变量。
Laurant级数是泰勒级数的一种扩展,用于展开复函数。
它允许中心点位于区域之外,可描述复函数在此点的奇异性。
Laurant定理指出,如果函数f在两个同心圆C1和C2内部区域R内单值连续,且点Z0位于C1内,则可将f在Z0周围展开为Laurant级数。
这个级数包含正负整数次幂项(Z-Z0)^n,其中正整数次项为分析项,负整数次项为主要项。
主要项允许f在Z0处发散,即中心点Z0可为奇点。这是Laurant级数的一个重要特征。
通过积分可以求导出Laurant级数系数。主要项系数 B_n 称为Z0处的残留。
根据主要项非零项的数量,奇点Z0可分为极点、无穷极点或零点等类型。
Laurant级数展示出函数在中心点的奇异性,是解析复变中一个重要工具。
留言定理指出,如果复函数f在包含多个奇点Z1,Z2,…,Zn的闭合曲线C上进行周积分,结果等于2πi乘以各奇点处函数的残留和。
具体来说,如果在复平面内画出闭合曲线C,该曲线内包含奇点Z1,Z2,Z3。然后将f在每个奇点周围使用拉朗日级数展开。
将f在Z1点周围的拉朗日级数进行积分,分解为分析项和主项两部分积分。由于高斯定理,分析项积分为0。主项积分仅留下残留项。
同理对Z2、Z3点积分,可得到整体积分等于各点残留项的和。
用极坐标表示每个奇点周围的微小圆,并用拉朗日级数展开。主项积分利用欧拉公式可简化,最后留下残留项。
总结地,如果曲线C内无奇点,整体积分为0。否则整体积分等于各奇点函数拉朗日展开残留和。
这个定理在解析复变中用于计算复积分,是非常重要的定理。
单纯极点是指在极点周围的劳朗展开式仅含有1/z项。对于单纯极点,可以使用下列方法求其剩余:
将函数f(z)与z-z0相乘,然后取z逼近z0时的极限值。该极限值即为z0点的剩余。
例题:求余弦z/z4-1在z=i点的剩余。
根据定义,函数f(z)在z0点的剩余等于其劳朗展开式中1/(z-z0)项的系数。
例如,求正弦z/z2在z0=0点的剩余:
若极点z0处函数的极限值为零,则z0不是极点。
若极限值为正无穷大,则z0是高阶极点。
若极限值为有限非零量,则z0是单纯极点,此极限值即为剩余。
对于阶数为n的极点z0:
将f(z)与(z-z0)m相乘,其中m≥n
对上述结果连续导数m-1次
将导数值除以(m-1)!
最后在z0点取极限值,此值为z0点的剩余
以上三种方法可求复函数在各类型极点的剩余。
若要用余领定理计算某定积分,第一步是将定积分改写为复变量形式的闭合曲线积分。我们可以使用极坐标转化,让复变量 Z 表示 θ 的指数函数,并用 DZ 替换 dθ。这样就将 θ 范围内的定积分转化为单位圆 C 上函数的闭合曲线积分。
求出 Funk(Z) 在单位圆内的所有奇点。若奇点为单纯极点,其余领可通过极限计算得出。
根据余领定理,闭合曲线积分的值等于所有内含奇点的余领之和乘以 2π。从而可以直接计算出原定积分的值。
将定积分改写为闭合曲线积分后,求其在Z=-0.5i处的单纯极点的余领,直接使用余领定理得出定积分值为2π/3。
利用sinθ的对称性,将范围改为0-2π,然后应用二项式定理展开函数,求出单点极点Z=0处的余领,最后用余领定理计算出定积分。
总之,使用余领定理计算定积分的过程是:1)改写为闭合曲线积分形式;2)求奇点及其余领;3)应用余领定理直接求值。这提供了一种新的、更高效的计算定积分的方法。
不定积分可以使用限制法来计算。半无限区间不定积分可以用一参数R来取代无限上限,取R趋于无限的极限。全无限区间不定积分可以用两个参数R1和R2分成两个部分,然后取各部分R1和R2趋于无限的极限。若两个极限都存在,则不定积分收敛。
若不定积分发散,可以使用Cauchy主值来赋予其值。Cauchy主值定义为无限区间函数在有限区间内的积分,然后取参数R趋于无限的极限。即使不定积分发散,主值也可能存在。
主值用于判断不定积分的收敛性。对于偶函数,若其主值存在,则不定积分收敛,等于主值。
若函数f(x)满足:
则可以利用残余定理计算其不定积分:
从而得出不定积分或其主值。对于偶函数,直接得出不定积分。
例如计算不定积分∫(1/(x^2+1))dx。
通过残余定理计算其主值为π,由于是偶函数,得出不定积分也为π。
局部解析函数:在某个区域内各点都可求导。
| 复数模:对于复数z=a+bi,其模定义为 | z | =(a^2+b^2)^(1/2) |
设f(θ)为θ在[0,π]区间内的可积函数,则有:
∫_0^π e^(-Rsinθ)f(θ)dθ ≤ ∫_0^π f(θ)dθ
其中R为正实数。
假设f(z)在半径为R_0的内圆和z坐标平面上半部分是可解析的。
假设CR是半圆,其半径R>R_0,中心位于原点。
当R→∞时,∮_{CR} f(z)e^{iaZ}dz → 0,其中a为正实数。
将半圆CR上的复变量曲线积分转化为θ区间上的实变成积分。
应用模积分不等式,将曲线积分的模小于等于模下函数的区间积分。
通过欧拉公式展开指数项,分离模。
应用Jordan的不等式Upper bound the integral.
由定理假设条件,Upper bound项MR在R→∞时趋于0.
所以曲线积分在R→∞时也趋于0,完成证明。
傅立叶积分通常指以下两种形式的不定积分:
从负无限到正无限的整函数 f(x) 乘以sin(ax) 的积分
从负无限到正无限的整函数 f(x) 乘以cos(ax) 的积分
其中 a 是正实数。如果 a 为负实数,也可以通过取出sin和cos表达式中的负号,将其转变为正实数形式。
直接把不定积分中的 X 替换为复变数 Z 是不行的,因为将 sin(X) 和 cos(X) 替换为 sin(Z) 和 cos(Z) 后,sin和cos函数的模会与Z的虚部Y成电指数关系,而Y在取无限大限会无限增长。
正确做法是:
将不定积分中的f(X)替换为F(Z)
将sin(aX)和cos(aX)替换为e^(iaZ)
这样做可以抵消Z的虚部Y对模的影响。
将原来的实积分转化为绕半径为R的弧形闭合曲线C上的复变量积分。
将闭合曲线积分分解为弧线段和半弧线积分,然后利用收敛定理计算离散值,再利用Jordan引理消去半弧线积分。从而得到原来实积分的值。
如果原积分目标是cos积分,则取计算结果的实部。如果目标是sin积分,则取虚部。
这是根据Euler公式将复指数展开为三角函数后的对应关系。
给出复数Z=x+iy,可以使用极坐标表示为Rcosθ+iRsinθ,这里R为离原点距离,θ为与正半轴的角度。
复数Z的角度或称作取值范围是[0,2π),定义为θ。
可以使用欧拉公式将复数Z以极坐标表达式转换为R体θ:
Z = Ris(θ)
复函数f(Z)在域D内如果除除有限个孤立奇点外,其余处全纯可微,则称f(Z)在D内为楔形函数。
楔形函数允许有有限个非连续点,但不能在整个区域内非连续,否则 discontinuity 会是无限个。
给出闭合曲线C,曲线内封闭某一区域。
曲线C围绕原点的扭数,定义为C一次移动过程中绕过原点的次数。
具体来说,设Z0为初始点,θ0为初值,绕C一周后回到Z0,此时θ为θ0+2nπ,则n为C相对原点的扭数。
C环绕原点2周,扭数为2
C内含原点,绕C一次θ变为θ0+2π,扭数为1
C外含原点,绕C一次θ不变,扭数为0
若有函数W=f(Z),在闭合曲线C上求函数值,在W平面上形成闭合曲线γ。
绕C一次,对应W的初值角θ0和终值角θ1关系为:θ1=θ0+2nπ,n称γ相对原点的扭数。
扭数计算公式:n=(θ1-θ0)/(2π)
在这个视频中,我们将讨论和证明论题原理。论题原理与网论论坛中的论题原理不同,后者认为第一个使用较多草率攻击的人获得辩论胜利。
而复variate中的论题原理与复数的论题有关,我在之前的视频中已给出定义。
给定一个简单闭双向积分曲线C。简单意味着曲线不自交,闭意味着曲线完全围成一个区域。
在C内定义一个在C上解析且不为零的细分函数f(z)。也就是说f(z)在C内面积内是细分的,但在C曲线本身没有零点和极点。
设Z和P分别为f(z)在C内部的零点和极点的个数,考虑它们的重数和阶数。
首先考虑C上f’(z)/f(z)的积分。使用参数表示C曲线,将积分改写为参数T的积分。
通过施以链式法则,可以将微分dZ改写为dT,从而将积分改写为参数T的积分形式。
然后使用f(z)的极坐标表达式,将积分分解为两个较简单的积分。
考虑参数T的限制A~B,知道这个范围内f(z)刚好在C周围采集一次。所以终点等于初点。
从而留下积分结果只与f(z)论题的变化有关,即等于论题的变化因子。
这样第一个证明就完成了,得到方程1:积分等于i乘以f(z)论题变化量。
考虑f(z)在C内所有Z个零点Zi及其重数mi。
考虑f(z)在C内所有P个极点ZJ及其阶数Kj。
分别求出Zi及ZJ附近f’(z)/f(z)的残差。
根据阻抗定理,积分等于2πi乘以残差和。
残差和等于求和mi减去求和Kj,即Z-P。
这样得到方程2:积分等于2πi(Z-P)
将方程1和方程2设置相等,进一步等价得到Z-P等于f(z)论题变化量。
这就是论题原理定理的证明。
为了让复变中的自然对数函数具有单值性,我们需要在复平面上设置分支切线。
| 拉切定理规定,如果闭合曲线C上,复函数F和G的模满足 | F | > | G | ,且F和G在C内外都解析,则F和F+G在C内同数根(考虑重根)。 |
| 证明在C上, | F | > | G | 。 |
所以,任何次数为n的多项式,在复平面上都有n个根。
天然对数函数对复数Z定义为:
lon Z = lon R + Iθ + 2πn
这里R是Z的模长,θ是Z在复平面内的极角,n是整数。
由于n可以取任意整数值,所以lon Z是多值函数。
为了将多值函数lon Z变换成单值函数,可以将θ限制在α到α+2π内:
G(Z) = lon R + Iθ (θ在[α, α+2π)内)
这样定义的单值函数G(Z)即为lon Z的分支。
所有分支都以原点为公共点,此点称为分支点。
用于定义分支的α到α+2π直线段称为分支切。
主分支对应的是α=-π。
函数在分支切上不定义。
计算函数在曲线周围的复变积分时,必须规避分支切,否则函数可能取多值。
一般采用两条半圆曲线绕过分支切进行积分。
将被积函数写成Z形式。
使用分支切割线将自然对数函数设定为单值函数。
设置闭合路径与进行积分。应用残留定理。
积分题目:将复自然对数函数从0到无穷积分:∫_0^∞ log(x)/(x^2+1) dx
将被积函数写成Z形式为:
f(Z)=log(Z)/(Z^2+1)
Z^2+1可以分解为(Z+i)(Z-i),表示Z平面上有两个孤立奇点,分别在i和-i点。
在负实轴上设置分支切割线,将Z的实部限制在[-π/2,3π/2]区间内。
路径C为:大半圆弧CR(R→∞)与小半圆弧Cρ(ρ→0)与实轴连接成闭合路径。
计算f(Z)在Z=i点的残留为π/4
根据残留公式,原函数在闭合路径C内的残留和为2πi×π/4=πi/2
将原函数分块化后,利用路径对称性将其中一个积分转化。
将 integrand利用实际意义分解。
求得原函数的最终表达式。
验证CR和Cρ弧形积分在极限下均为0。
将实轴分量化解后,直接积分得出结果也为0。
通过设置适当的分支切割线与闭合路径,运用残留定理将复积分问题转化为实轴积分,最终求得原函数从0到无穷的积分值为0。