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异常微分方程是包含函数及其偏微分导数的方程。例如方程 DF/DT=D^2F/DX^2 就是一个异常微分方程,因为函数F是X和T两个变量的函数。
与普通微分方程不同的是,函数F现在是多个变量的函数,而不是一个变量的函数。
方程中最高阶的偏微分导数决定该方程的阶数。例如D^2F/DX^2=DF/DT,最高阶为二阶,所以这是一个二阶异常微分方程。
独立变量是函数在其内求导的变量。例如上例中,F分别对X和T求导,所以这两个方程都有两个独立变量:X和T。
若函数F仅以线性形式出现,则方程为线性方程。例如DF/DT=D^2F/DX^2就是一个线性方程。
若方程每个项都仅包含函数F及其导数,则称为齐次方程。否则为非齐次方程。
若导数项的系数为常数,称为常系数方程。如果系数为变量函数,则为变系数方程。
对二阶线性方程,可以根据方程形式等式右边系数的关系将其分为惯性方程、bolic方程和椭圆方程。
异常微分方程广泛应用于物理学、化学、生物学等自然科学领域,如热传导、流体运动、量子力学等,因此它们非常重要。
video总结了异常微分方程的定义、分类标准以及它们在各学科中的应用重要性。提供了一个系统的异常微分方程概念框架。