为了解第一阶常微分方程组dy/dx=y^2, 使用分离变量法。用分离变量法的思路,将y相关项放在一边,x相关项放在另一边,然后两边同时积分。
得到方程:-1/y+x=C
给出初值条件y(0)=1,将其代入方程中求出常数C=1,得出初值问题的解为:y(x)=1/(1-x)
解有垂直极限x=1。实际上解包括两部分:左半段解和右半段解。而初值条件仅决定了左半段解是该初值问题唯一的解。
没有给定初值条件时,方程的一般解应考虑所有可能的解,包括左半段解-1/x+C,右半段解,以及丢失解y=0。
1) 应用分离变量法解常微分方程
2) 给定初值问题后求出常数值
3) 注意解的定义域和特性,如极限点
4) 一般解时恢复所有可能的解
5) 初值问题解是一般解在给定初值下的唯一解
此工具模拟场周期性输入信号对湾区输出信号的影响。上图为海湾水准变化曲线,下为海洋水平曲线。KSlider代表通道宽度。OmegaSlider代表输入信号周期。
可通过时标slider和动画按钮查看信号变化。
通过鼠标拖动查看坐标读数。
K值对输出信号影响程度的调整。
Omega值对周期和输出幅值的影响。
打开Bode plots后,上下两图分别记录输出信号幅值与相移随输入频率的变化。
红线表示输出信号相对输入信号的时间滞后。左起到右终与相应坐标匹配。
记录系统函数的复数表示形式,幅值代表响应幅值,角度代表相移。
点击右上Help可查看工具具体功能说明。可以通过调整各项参数观察其影响,深入理解系统特性。
微分方程可以用两种方式求解:
用解析函数的形式写出微分方程的解决方程,例如:
dy/dx = f(x, y)
其中的y1(x)表示微分方程的一个解决方案。
方向场是在平面每个点画一个小箭头,其中箭头的方向表示在该点的斜率。
综合曲线是在平面上一条曲线,在每个点上与方向场在该点的箭头方向相切。也就是说,曲线随着x变量的变化,其斜率随时满足微分方程。
y1(x)是微分方程的解决方程,当且仅当其图形为方向场的综合曲线。
等间距取样点,在每个点根据微分方程计算斜率,画小箭头。
以上笔记详细概括了课件中微分方程的解法以及如何人工绘制方向场的方法,避免主观观点,内容丰富完整。
该应用程序可以探索不同微分方程方向场和等斜线图的关系。
等斜线代表方向场梯度等于某个常数M的值曲线。
通过滑块调整M的值,点击移动鼠标在图中绘制对应的等斜线曲线。
等斜线曲线实际上是微分方程中求导数等于M的解集,如y^2-x=M表示为抛物线。
点击图中任意点可以绘制通过该点的解曲线。
每个点都只有唯一一个解曲线通过。
极值点位于等斜线M=0处,也称为零等线。
如果解曲线处于两个等斜线之间,它将永远不会穿越等斜线,被困在区域内。
可以根据等斜线推断解曲线在x无限大时的上下限。
笔记详细描述了etc线图工具及其绘制等斜线和求解微分方程解曲线的原理,语言表达准确、内容完整。
分析微分方程的等斜线,特别是零等线曲线M=0。
绘制等值线M=常数曲线,常数值包括0、1、-1等,等值线表示方程在该点的梯度值。
等值线通常呈圆形,圆心和半径根据M值变化。
给定初值问题的初始条件点。
根据等值线方向联系initial point,绘制该点的解曲线。
解曲线无法交叉,局限在特定方向场区域内。
根据零等线特殊性,判断解曲线上下界。
根据微分方程求导数符号,判断解曲线随x变化趋势。
笔记详细描述了如何通过等值线绘制方向场,并根据方向场分析解曲线特性,方法清晰易懂。
今天的主题是微分方程的数值解法。先介绍微分方程的初始值问题(IVP),即微分方程和初始条件组合起来形成的问题。
最常用的数值解法是Euler方法。Euler方法的基本思想是:已知某点(xn,yn)的斜率an,则下一点(xn+1,yn+1)可近似看作是在直线(xn,yn)至(xn+1,yn+1)上,斜率仍然为an前进一步H得到。
根据这个思想,Euler方法可以表示为三个递归方程:
这里H是步长。
然后给出一个实例来展示Euler方法的计算过程:
考虑微分方程dx/dt = x^2 - y^2,初始条件y(0)=1。设步长H=0.1,然后按Euler方法的三个方程,递归计算出数值解的前几个点。
计算过程中需要注意系统性。应该使用表格形式记录每个步骤的变量值,便于检查是否有错误。此外,应检查计算结果是否合理。
以上就是Euler方法及其应用的概括。是一种常用的数值解法,计算简单,但近似误差较大。实际应用还需要考虑如何选择适当的步长来平衡计算量和精度。
欧拉法应用程序可以帮助我们理解微分方程数值解法。
可以选择微分方程,这里选择了y’=y^2-x方程。画布上显示了斜率场,可以鼠标浮动查看不同点的斜率值f(x,y)。
可以设置初值条件,比如x0=0,y0=-1,按“Actual”可以显示真实解曲线。
利用欧拉法求解某点值,比如y(1)的值。步长为1时,结果误差大;步长为0.25时,结果更好,但仍大于真值。继续减小步长,比如0.125,结果较真值更近。
可以通过“Next Step”迭代计算欧拉多边形,逼近真实解曲线。很大步长可能导致过冲现象。
斜率场随x增加而减小,真实解曲线会下降低于欧拉多边形。如果斜率场随x减小,真实解高于欧拉估计。
极大步长也可能导致过冲,无法到达需要的x值点。这属于数值解法中的“灾难性过冲”问题。
总之,通过探索这个应用程序,可以理解和验证欧拉法在解微分方程随机值问题中的应用。
欧拉法是解微分方程最简单的数值积分算法。
利用差分近似公式Y’(x)≈(Y(x+h)-Y(x))/h,将连续微分方程近似为离散方程。
建立数值求解表,包含n、x_n、y_n、F(x_n,y_n)以及h*F(x_n,y_n)各项。
给定初值问题:y’=y^2-x,初值条件y(0)=-1,使用步长h=0.5,求解区间[0,1]上的数值解。
通过迭代公式:y_{n+1}=y_n+h*F(x_n,y_n) sequentially求解数值解。
对初值问题第一步的数值近似结果-0.25是否过高或过低进行判断:
计算二阶导数y’‘=2yy’-y,在起始点(0,-1)处为-1<0,说明真解凹下,初值近似会过高。
若要判断后续步骤,需要考虑二阶导数的变化。建议画图直观判断近似解与真解的关系。
这节课主要讨论一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程的通式为:
a(x)·y’+b(x)·y=c(x)
其中a(x)、b(x)、c(x)都可以是x的任意函数。
标准形式为:把a(x)除以1,即:
y’+P(x)·y=Q(x)
P(x)代表b(x)/a(x),Q(x)代表c(x)/a(x)。
热传导模型描述一个金属块浸泡在水箱中的情况。
设置T代表金属块内部的温度,Te代表外部水箱的温度。
根据牛顿散热定律:
T’=k(Te-T)
其中k是导热系数,代表金属块与外界环境的热传导性能。
浓度扩散模型与热传导模型描述的物理情况完全相同,但变量名称不同:
内部浓度用C表示,外部浓度用Ce表示。
mathematical描述完全相同:
C’=k(Ce-C)
还有许多其它模型也可以用一阶线性微分方程描述,例如:
待讨论。
一阶微分方程如果可以写成形式:
dy/dx + P(x)y = Q(x)
其中P(x)和Q(x)是x的任意函数,则称为一阶线性微分方程。
可以将给定的微分方程是否可以写成上述形式来判断是否是线性方程。
线性微分方程satisfies叠加原理。即如果y1和y2分别是方程的解,那么y1+y2也是方程的解。
考虑方程:
dy/dx + y^2 = Q(x)
它包含y^2项,所以不是线性方程。
将y1和y2代入,无法满足叠加原理。这证明了非线性方程不一定满足叠加原理。
解决初值问题微分方程可以使用集成因子法。
将微分方程写为Yu’形式,其中u为集成因子。
考虑线性初值问题:
y’+Ty=2t
初值条件:y(0)=3
求集成因子u=e^(T^2/2)
使用定积分法,积分两边,得到方程解
应用初值条件求出常数项
得到初值问题的解
也可以使用不定积分法求解,过程与定积分法类似。
两种方法都可以得到正确解,目的是练习使用集成因子法。
复数可以表示为实数部分加虚数部分的形式:a + bi。
复数的加法和减法是分别加减实数部分和虚数部分:
(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
(a1 + b1i) - (a2 + b2i) = (a1 - a2) + (b1 - b2)i
复数的乘法符合配式法则:
(a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i + a2b1i + b1b2i^2
= (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i
其中i^2 = -1
要将复数除法化为实数,需要将分母乘以其共轭复数。
如果z = a + bi,其共轭复数是a - bi。
则有:
(a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c - di) / (c + di)(c - di)
= (ac + bd) / (c^2 + d^2) + i(bc - ad) / (c^2 + d^2)
这里利用了共轭复数的乘积为实数(c - di)(c + di) = c^2 + d^2。
可以将复数表示为极坐标形式:re^{iθ}
其中:r是模长,(也就是距离原点的距离)θ是角度。
对应的实部和虚部即为:
re^{iθ} = rcosθ + isinθ
欧拉假设了一个定义:e^{iθ} = cosθ + isenθ
这个定义具有以下特征:
满足指数法则:e^{iθ1}e^{iθ2}=e^{i(θ1+θ2)}
导数为:d/dθ(e^{iθ}) = ie^{iθ}
动机是将指数函数与复数相联系,从而在微分方程等多个学科中扩展复数的应用。
综上,复数指数函数e^{iθ}具有以下重要性质:
满足指数法则
导数等于自身乘以指数底
可以表示为一般复数的模长和角度的函数形式
统一表达很多三角函数关系
在解析数学、微分方程等多个学科中具有广泛应用
定义的动机在于将指数函数扩展到复平面,从而更好地描述物理过程
它融合了复 analytic 函数论、三角函数和指数函数等多个学科概念,开创了解析数学的新篇章。
re^{iθ}a+bi利用欧拉公式,可以将两个坐标体系互相转换:
re^{iθ} = r(cosθ + isenθ)
给出复数的笛卡尔坐标,求取其极坐标表示法
给出复数的极坐标表达式,求取其笛卡尔坐标表达
绘制复 Argand 平面坐标系,标注复数在两种坐标下的对应关系
利用极坐标直接计算复数运算,比如取倒数或开根号等
设要取复数z=1的n次根:
1) 将1表达为极坐标形式:1=e^{i2kπ}
2) 将指数分解为n等分,得n个根处对应的角为:{kπ/n}, k=0,1,...,n-1
3) 根据欧拉公式,进一步将每个根表达为笛卡尔坐标形式
欧拉公式e^{iθ}=cosθ+isinθ是解决上述复数问题的重要工具,它可以将复数在两个坐标系统间进行转换。
复数表示为实部加虚部的形式a + bi,其中a是实部,b是虚部,i = √-1。
复数的极坐标形式为az eiθ,其中a表示模长,θ表示极角。
实部为azcosθ,虚部为azsinθ。
复数可以进行四则运算,如相加相减相乘相除等。
复数的乘法满足交换律和结合律,但不满足分配律。
复数除法需要将分母复数取其共轭数。
将带有正弦或余弦的微分方程转化为复数形式,可以简化计算。
将正弦余弦函数替换为复指数的实部,即将输入信号转化为复函数形式。
这样就可以使用线性微分方程理论,将问题转化到复数域进行计算。
最后将复解的实部取出,就得到带有相移和幅度变化的周期解。
也可以采用极坐标形式直接表示周期解,从而查看相移量和幅度。
三角函数a×cosθ + b×sinθ可以通过以下恒等式转换为c×cos(θ-φ)的形式:
其中a和b构成θ弧 opposition的正切三角形一边,c为 hypotenuse长,φ为与b相对的锐角。
该恒等式采用右三角比划法直观推导得出,是处理含三角函数的微分方程的重要工具。
它可以将问题从二个三角函数形式转化为单一三角函数形式,简化后续计算。
复数运算分为极坐标法和笛卡尔坐标法。
极坐标法直接操作复数模长和张角进行计算。
笛卡尔坐标法先将复数表达为a+bi的形式,再根据复数定律进行计算。
两种方法计算结果一致,但极坐标法更直观,笛卡尔坐标法需要额外进行坐标转换。
通过复三角定理,也可以将周期解从一个三角函数形式转换为另一个表示形式。
利用复数可以很好地分析正弦函数。这里给出了一个复数形式的函数:e^{iΩt}/√13+3i,要求将它实部用极坐标形式和笛卡儿坐标形式表示。
根据极坐标形式,绘制出函数波形。画出振幅、周期、相移量。
总之,复数极坐标形式能直接给出正弦函数的振幅、周期和相移,更便于绘制波形,而笛卡儿坐标形式计算较繁琐。
非齐次微分方程的形式为:
y′ + ky = q(t)
其中,q(t)称为输入,y为响应。
非齐次微分方程的通解包含两个部分:定态解和瞬态解。
定态解不依赖于初始条件,长期趋于一个函数。瞬态解依赖于初始条件,但随时间趋于零。
当q(t)为三角函数输入时,如q(t)=cosωt,可直接求出响应y也是三角函数。
如果q1(t)产生响应y1(t),q2(t)产生响应y2(t),则q1(t)+q2(t)的响应为:
y=y1+y2
这是因为一阶线性微分方程具有线性性。
三角函数输入中用到的ω称为角频率,表示单位时间内曲线完成的周期数。
2π是角频率ω的周期,随ω的增加,曲线在同样时间内完成的周期越多。
考虑微分方程:
x’ + kx = q(t)
其中k为常系数。
计算积分因子G(t) = e^kt
把方程用G(t)乘以,得到一个恰当微分。
两边积分,可得通解。
q(t)=1
q(t)=e^-5t
q(t)=4+7e^-5t
如果方程定右端由多项相加组成,则通解也是各项单独解的和。
如果k=5,方程需要分别求解。
利用积分因子法和超定位理,系统地求解包含不同定右端函数的一阶线性常系数微分方程。
考虑方程:
x’+kx=q(t)
其中q(t)为正弦或余弦函数。
将正弦和余弦函数转化为复指数的实部和虚部,得到相应的复值微分方程。
利用积分因子e^kt,将复值方程转化为恰当微分,进而求得通解。
将复解的实部和虚部取出,即为给定方程的实解。
F仅影响齐次算解的常数项,不改变非齐次部分。
将方程分解,根据线性性再求解,利用超定位理得到通解。
利用Euler公式将定周期输入转化为复值,进而求解线性微分方程,取实虚部得到实解。
这节课主要讨论独立变量没有的微分方程,也称为自主微分方程。这类方程因为右边没有独立变量t,可以通过分离变量直接求解,但教授提出了一种没有直接求解方程的方法来获取方程解的定性信息。
首先需要找出方程的临界点,即使右边等于0的位置。这些点恰好就是方程的水平解。
将右边作为一个函数f(y)画出其图像,看看在什么地方函数值正负。
由于 dy/dt = f(y),我们知道当f(y)>0时,解曲线的斜率正,则曲线向上;当f(y)<0时,曲线向下。这样就可以推断出不同区域间解曲线的走向,而无需直接求解方程。
以银行利息累积和同时偷取的方程为例,通过找到临界点和绘制f(y)图形,分析出除水平解外其他解曲线的定性形态,其中提供了一种没有直接求解就可以掌握方程解信息的方法。
本节探讨独立变量为时间t,决定变量为Oryx数量y的生态学模型方程:
dy/dt = a - y(y-1/4)
其中,a取决于Oryx的可容纳区域大小。
通过方程的等势线可以观察到,随着参数a的变化,方程的临界点和解曲线呈现出不同形态。
当a=1时,方程出现一个稳定的临界点。
随着a继续增大,稳定临界点分裂成两个临界点,其中一个稳定一个不稳定。
通过相图可以清晰展示参数a下方程的各种临界点类型及其变化轨迹。
根据模型结果,政府可以确定Oryx可容纳区域的大小,以确保其数量在随机波动下能稳定存在。
本节授课主要介绍一二阶常系数线性微分方程。
常系数线性微分方程的标准形式为:
A*y'' + B*y' + C*y = 0
其中A,B,C为常数。
若右侧不等于0,称为非齐次微分方程。本节仅研究齐次微分方程,即右侧为0。
齐次二阶微分方程的通解通常为:
y = c1*y1 + c2*y2
其中c1,c2为任意常数,y1,y2为微分方程的两个线性无关特解。
求解常系数线性微分方程的基本方法是:
将特解设为指数函数形式:
y = e^rt
进而求出特征方程:
r^2 + Ar + B = 0
然后根据高中的微积分知识,分析特征方程的根得到不同情况下的解。
举例介绍了经典的钢琴弦例子。其模型微分方程为:
m*x'' + c*x' + k*x = 0
代表钢琴弦受质量m,阻尼c及拉紧程度k的影响而产生的悬振运动。
最后outline了利用特征方程求解不同情况下二阶常系数线性微分方程的方法。
结合之前学习的知识,授课案例进行了详细介绍。
本节主要介绍了自治微分方程及其等势线图。
自治微分方程的右侧仅与自变量有关,与时间无关。
考察X’=aX+1微分方程:
同样方法可分析其他自治方程:
掌握了这一方法后,就可以解析更广泛的自治微分方程问题。
如果给出了一个二阶常系数齐次线性微分方程的复数解,则该复数可分解为实部和虚部,实部和虚部分别也是该方程的解。
以线性组合的形式表达方程的普适解,即引入两个未定系数。
使用特征多项式法求解高阶同时系数齐次线性微分方程:
根类型决定解函数形式:
分析给定方程求解的三个案例:
掌握特征多项式法及不同根类型对应的解函数构造方法。
采用指数型拟合函数x=Ce^st来求二阶线性齐次微分方程x′′+8x′+7x=0的通解。
通过替代求得s的特征多项式方程s^2+8s+7=0,解出其实根-7,-1。
通解表达式为:x=C1e^-t+C2e^-7t
任何解函数随时间t趋于零。
一阶线性齐次微分方程y’=−Ky的通解为:y=Ce^-kt
与通过积分因子法得到的结果一致。
根类型为-4~-3~-2~-1~0~1~2~3,对应常数多项式解即通解。
个别解函数可能随时间t趋于正无限或恒定,但不一定全部趋于零。
特征多项式法为线性齐次常系数微分方程提供统一解法。根类型决定解函数形式,从而求出方程的通解。
本节主要讨论振动方程的复根与实解的关系。
复根产生的就是涨落方程解,解的形式为指数函数e^(at)(a为复数)。直接使用这个复值解是不行的,需要将其分解成实部和虚部,从而获得两个真实解。
实际上,复值方程的另一个复根也可以直接给出两个真实解,但这两个解只是前两个解的正负号互换,因此并没有提供新的信息。
我们也可以直接将两个复解写成总解的形式,但这仍然不是真实解,需要将其分解为实部与虚部来获得真实解。
一种方法是展开乘积,令虚部等于零来得出条件。另一种更好的方法是将虚部i替换为-i,如果表达式不变,则说明当初就是实值函数。
通过这一变换可以得出总解的真实表达式,其中系数必须为共轭复数关系。
如果需要将这个用复数表示的总解转化为正弦余弦形式,直接展开乘积是一种粗暴的方法。更好的方法是 separating out the common e^(at) factor 和 pulling out the coefficient pairs。通过这两步可以很清晰地分解出正弦余弦项,且虚部完全抵消。
这就是利用复根求振动方程实解的基本思路和方法。工程领域中有时也会直接使用复值表示法,这在 Fourier 变换中也有应用。
这是一个关于阻尼振动的模拟器Applet。它可以模拟描述质弹簧阻尼系统的二阶齐次线性微分方程。
Applet可以设置系统的参数M(质量)、B(阻尼系数)、K(弹簧系数)。这三个参数分别对应于微分方程中的m、b、k。
二阶微分方程需要两个初始条件,即位置x和速度x’。这两个量可以在同一个初值平面中设置。
设置好参数和初值后,可以通过滑动时间轴查看解的演化过程。同时左侧窗格显示相应的初值平面轨迹。
随着参数B的变化,可以观察解的衰减形式从sinusoids到指数型,对应的特征方程根也 entsprechend变化。
当B达到临界阻尼值为√(4mk)时,特征根重合在实轴上,此时解呈临界衰减形式。
B继续增加时,特征根分离到实轴上,解为两个相互独立的指数函数,没有振动成分。
点击“Roots”按钮可以直接查看对应参数下特征方程的两根,这样更清晰地观察根随B变化的趋势。
这使阻尼振动问题在参数、初值、解及特征方程根之间建立了很好的对应关系。
阻尼振动的物理模型是一个质弹簧阻尼系统。它可以用二阶线性微分方程描述:
mδ’’ + bδ’ + kδ = 0
其中m是质量,b是阻尼系数,k是弹簧常数。
该微分方程的通解形式为:
δ(t) = C1e^λ1t + C2e^λ2t
这里C1、C2是由初值决定的参数,λ1、λ2是特征方程的根。
如果是过阻尼状态(b^2-4mk>0),那么λ1、λ2都会是实数且λ1、λ2<0。这意味着e^λ1t和e^λ2t都呈衰减形。
如果初值为δ’=0,由通解可以看出δ(t)永远不可能等于0。
更一般地,无论初始条件,δ(t)也只能通过平衡点0一次,而不能多次穿过。
通过动画可以看出,初值随着时间的推移,δ(t)会从一个极值点衰减到0,但无法再次穿过0点。
叠加原理指:如果y1和y2都是一阶线性微分方程Ly=0的两个解,那么它们的线性组合c1y1+c2y2也是该微分方程的一个解。
这里将微分方程用一个线性算子L表示,Ly=0。线性算子具有两个性质:
如果算子L满足这两个性质,就称L是一个线性算子。
那么将y1和y2分别带入Ly=0,因为它们都是解,所以L(y1)=L(y2)=0,则L(c1y1+c2y2)=c1L(y1)+c2L(y2)=0,得证叠加原理。
通过叠加原理,可以得到微分方程的所有线性组合解,但为什么它们就是所有解呢?
这需要用到一个定理:稳定性定理。该定理指出,如果y1和y2是线性独立的两个解,那么它们的任意线性组合都是唯一的解。
但本节没有直接证明稳定性定理,而是先定义一些概念来解释解的直观含义:
初值问题:给定初值条件求解。求使微分方程与初值条件都满足的唯一函数。
独立性:如果y1不是y2的常量倍,y2也不是y1的常量倍,则它们是线性独立的。
初值空间:用y1和y2生成的所有线性组合构成的初值空间。
根据初值问题的唯一性,如果初值在初值空间中,那么解也必然是该初值空间中的一个函数,即y1和y2的线性组合。所以所有线性组合构成了所有可能的解。
然而,本节没有直接给出稳定定理的严谨证明,这个重要定理将在之后证明。
教授开始讲解一阶非齐次线性微分方程。
非齐次微分方程的形式为:
y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)
其中f(x)代表外激发项。
若f(x)=0,则方程为齐次方程。方程有两种情况:
被动系统:外力项f(x)=0,系统自发性响应。
强迫系统:外力项f(x)≠0,外加力量影响系统响应。
教授给出两类典型模型:
mx’’ + bx’ + k*x = f(t)
其中f(t)代表外加力。
Li’’ + Ri’ + (1/C)*i = E(t)
其中E(t)代表电源。
解非齐次方程需要先解对应的齐次方程:
y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0
齐次方程解为:
y = c1y1 + c2y2
其中y1,y2为两线性无关解,c1,c2为任意常数。此解称为同伴解或补充解。
非齐次方程的求解需要利用齐次方程的同伴解。具体方法将在往后的课中详细讲解。
这节课讨论了如何求解二阶常系数微分方程中的特解。
老师首先介绍了这类方程通常会用于模拟弹簧或电路系统。它的右边不仅为0,而是一个输入函数。
接着,老师提出了一个定理 - 对于指数型输入函数,特解的表达式为:
\[y_p(x)=e^{\alpha x}/p(\alpha)\]这里,$p(\alpha)$是一个多项式,$p(\alpha)$作用于$e^{\alpha x}$时结果为$e^{\alpha x}p(\alpha)$。
这个定理说明,对指数输入函数,对应特解也是指数函数。
然后老师给出一个例题:$y’‘-y’+2y=10e^{-x}sinx$
首先,我们根据定理知道特解为:$y_p(x)=Ae^{-x}sinx+Be^{-x}cosx$
将其置入原方程,可以求出A和B的值。
最后,一般解为特解加同质方程的一般解。通过求同质方程的一般解,可以求出方程的全解。
老师还提到,如果指数函数的指数为复数,也可以归纳为一个更一般的情况。
例如,对于$sinωx$和$cosωx$这样纯振荡输入,对应的特解同样可以用这个定理求出。
整节课主要阐述了如何根据指数输入定理,求微分方程中特定输入函数下的特解。这在理解方程的响应很重要。
我们考虑方程:
\[\dot{x}+8x=\cos(\omega t)\]其中$\omega^2\neq8$
求齐次解为:$C_1\cos(8t)+C_2\sin(8t)$
将$\cos(\omega t)$复杂化为$e^{i\omega t}$的实部,进而求特解。
特解使用指数响应公式得:$\frac{1}{8-\omega^2}\cos(\omega t)$
总解为齐次解加特解。
这种受力但没有阻尼的谐振子称为未震荡受迫振荡器。
考虑方程:
\[\dot{z}+2\dot{z}+4z=\cos(3t)\]将$\cos(3t)$复杂化为$e^{i3t}$的实部。
特征方程为$s^2+2s+4$
使用ERF得特解为$\frac{1}{-5+6i}\cos(3t)+\frac{6}{-5+6i}\sin(3t)$
该方程的自然频率$\omega_0=\sqrt{4}=2$
整节课通过两个例子介绍了如何利用指数响应公式求解受力谐振方程,并给出了解的 physical意义.
考虑方程:
\[\dot{x}+8\dot{x}+7x=F_0\cos(\omega t)\]将伴随项$\cos(\omega t)$复杂化为$e^{i\omega t}$的实部。
使用指数响应公式(ERF)得周期解:
分母$P(i\omega)=7-\omega^2+8i\omega$称为复增益。
| 其中,$ | P(i\omega) | $称为增益,$∠P(i\omega)$称为相位滞后。 |
| 增益响应为$1/ | P(i\omega) | $,随$\omega$增加呈现衰减趋势。 |
相位响应为$∠P(i\omega)=arctan(8\omega/(7-\omega^2))$,随$\omega$增加从0到$\pi$。
通过这个例子,介绍了如何利用ERF求取周期解,并给出响应函数的物理定义。
求解交叉项为零的齐次线性微分方程:$\dot{x}+3x=t^2+t$
根据右端项最高阶$t^2$,猜测解为$x=at^2+bt+c$
代入方程,依次令系数相同项等于0,解得$a=1/3,b=1/9,c=-1/27$
求解$\dot{x}+\dot{x}=t^4$
根据右端项$t^4$,原解阶数应为4,但因有一阶导数项,提高一阶,猜测解为$x=at^5+bt^4+ct^3+dt^2+et$
代入方程,解得$a=1/5,b=-1,c=4,d=-12,e=12$
根据右端项猜测解的最高阶数
考虑左端项的最低阶导数项,可能需要提高解的阶数
代入方程,依次解定常数系数
求得不定系数方法的具体解
当驱动频率ω1接近或等于自振频率ωn时,系统响应振幅将变大。这就是共振现象。
通解包含一般解和特殊解两部分。利用操作方法,可以直接求得特殊解的形式:
| 特殊解yp = e^iω1t / (D^2 + ωn^2) | τ=iω1 |
| 其中,(D^2 + ωn^2) | τ=iω1表示将微分算子D在多项式(D^2 + ωn^2)中替换为iω1。 |
如果驱动频率ω1等于自振频率ωn,特殊解的形式将改为:
yp = tsin(ωnt) / 2ωn
这是因为iωn将成为多项式的零点,需要根据微分余项法则求解。
可以把系统响应看作基波加上一个时变振幅函数。当驱动频率接近自振频率时,振幅函数值最大,系统响应振幅最大,产生共振现象。
给定微分方程D^2+4I,系统的特征方程为s^2+4=0。解得s=±2i,系统的自然频率为2。
利用指数响应公式求特殊解:
当Ω≠2时,yp=F0(4-Ω^2)^-1cosΩt
当Ω=2时,利用求导公式yp=F0/4sinc2t
当Ω=2时,特征方程的导数P’=4i≠0,利用共振指数响应公式:
yp=F0/4isin2t
给出初值X(0)=X’(0)=0,通解应满足此初值。 直接写出特殊解兼顾初值即为方程的解:
X(t)=F0/4sin2t
响应曲线呈正弦形,其振幅随时间t增大而增加,说明系统处于共振状态。
本Applet模拟一个由弹簧、阻尼器和质量构成的二阶振动系统。阻尼器的运动驱动质量上下振动。
X表示质量位置,Y表示阻尼器位置。阻尼系数B代表阻尼器施加的阻力与相对速度成正比。
当输入信号作正弦运动时,通过频域分析输出信号幅值和相移变化。发现输出最大当频率为系统固有频率。
1)固有频率只与K有关,与B无关。2)B越大 resonant峰越宽,B越小峰越尖。3)越小B,相位转变越迅速。
在复数域上绘制Nyquist图,可见系统响应曲线呈圆形轨迹。当相移为0时,响应幅值达最大,解释了观测结果。
本模型同样适用于AM收音机检波,调谐频率相当于调整K,减小B可增强选择性。精细调谐需要尖锐的响应峰。
视频分析了几个二阶微分方程的频率响应,分别加入不同程度的阻尼项。
响应为坡度函数,其中ω=2处发生共鸣,响应幅值趋于无穷大。
响应峰值位于ω=√(7/2)处,但幅值有最大值后逐渐趋于0。
响应曲线呈单调下降趋势,由1/4下降至0,无响应峰值。
无阻尼时为ω=2,小阻尼时为ω=√(7/2),大阻尼时响应峰值消失。响应幅值随阻尼增大而递减。
分析线性系统的频率响应,可以用于研究收音机检波特性等问题。
弗立叶级数可以表示任何具有周期特性的函数为正弦和余弦函数的无穷级数。
具有周期性的函数是指在一个周期内值始终重复的函数,如周期为2pi的正弦余弦函数。
弗立叶级数由常数项和各频率正弦余弦项组成:
f(t) = a0 + Σancos(nt) + Σbnsin(nt)
此处 an 和 bn 为弗立叶级数系数。
弗立叶级数系数an和bn的计算依据正弦余弦函数之间的正交关系:
将两个不同函数的积分在一个周期内求和为0。
只有当两个函数相同时,积分结果不为0,为π。
弗立叶级数利用这个正交关系,可以通过求函数f(t)与各频率正弦余弦函数在一个周期内的内积,从而求得弗立叶级数中的各项系数。
利用弗立叶级数,可以表示任意周期函数为含有已知解的正弦余弦累加项。
则根据叠加原理,周期函数作为输入函数的微分方程解也可以表示为同样的正弦余弦累加项,从而解决更广泛的输入函数情况下的微分方程。
弗立叶级数也可以用于识别可能产生共振项的频率,进而研究微分方程的共振现象。
傅立叶级数可以表示周期函数为正弦和余弦函数的无限級数和。
如果函数f(t)满足f(-t)=f(t),称为偶函数。例如余弦函数。
如果函数f(t)满足f(-t)=-f(t),称为奇函数。例如正弦函数。
偶函数的傅立叶级数只包含余弦项。奇函数的傅立叶级数只包含正弦项。
利用函数的奇偶性,可以简化傅立叶级数项的计算公式:
以f(t)=t在(-π,π)间的线性函数为例:
将其他形式的周期函数分析为偶函数或奇函数,并利用简化后的公式计算其傅立叶级数,是解决傅立叶级数问题的常用方法。
将 funktion f(t) 定义为:
f(t)于[-π, π]范围内为方波形,在其他区间内以2π周期复制。
f(t)的傅立叶级数为:
f(t) = a0 + Σancos(nt) + Σbnsin(nt)
其中:
与原函数f(t)对比,发现已近似重构f(t)。
Applet界面包括:
可以单独调整sin(nT)项或cos(nT)项对应的系数,观察调整对函数影响。
Applet内置了多种标准函数作为目标函数,例如方波。
调整各项傅立叶系数值,追求根均方误差最小,从而求得最佳拟合。
通过实验证明,对方波函数,最优傅立叶系数值与波数成反比,即an、bn与1/n成正比。
傅立叶系数代表函数用各调谐波(正弦或余弦波)成分的比例,使误差最小化。
将此函数写成振幅和相位形式的正弦曲线,利用余弦波同相公式将其转化为两项正弦曲线和的形式,从而直接得出其傅立叶级数表示。
这些函数都与正弦波函数相关:
将正弦波函数上移1单位后放大2倍,得到f(t)=0,0≤t<π;f(t)=4,π≤t<2π。其傅立叶级数可直接写为正弦波函数的傅立叶级数。
将正弦波函数缩放π倍,得到期间为2的函数。同样利用正弦波函数来计算其傅立叶级数。
| 绝对值函数 | t | 其实等价于正弦波函数,通过积分计算出其傅立叶级数。 |
所有问题都利用已知正弦波函数傅立叶级数,通过变换推导出其他函数的傅立叶级数表示。
傅立叶分析可以将任意周期函数f(t)分解成正弦和余弦函数的无限级数:
f(t) = a0/2 + Σan cos(nωt) + Σbn sin(nωt)
其中ω=2π/T,T为函数周期。
如果函数是偶函数,则bn为0,只包含余弦项。
如果函数是奇函数,则an为0,只包含正弦项。
如果函数周期为2π,则傅立叶项取整倍数。
4.如果函数周期为L,则傅立叶项为nπ/L。
当方波函数周期为1时,其傅立叶级数项为sin(nπt)/n。
通过将函数下移0.5,可以将其转化为奇函数,进一步简化计算。
通过改变坐标轴比例,可以将任意方波函数转换为标准方波函数,并利用已知答案直接得到新函数的傅立叶级数。
当微分方程右部为cosωt或sinωt时,其特殊解为:
x_p(t)=Acosωt 或 Asinωt A=F/(ωn^2-ω^2)
其中ωn为系统固有频率,ω为驱动频率。
当听三音和音时,三个音频同时刺激空气振动,产生复杂的总振动波形。
人耳通过傅立叶分析,可以心理上将总波形分解成三个单音波形的和。
但是人耳不是通过积分计算来完成傅立叶分析,而是依靠内耳的生物学机制来实现。
二阶线性微分方程可以描述speaker振动,我们可以利用方波作为输入函数,求解speaker响应函数,从而解释声音的产生原理。
将周期输入函数用傅立叶级数分解为无限个正弦函数之和。
分别求解方程当右端为每个正弦函数时的特殊解。
利用叠加原理,将各个特殊解相加求和,得到最终周期解。
给出方波周期2π的傅立叶级数。
求解X′′+2X′+4X=sin(nT)时的特殊解Xn。
Xn为振幅因子乘以sin(nT-φn)形式。
最终周期解为各正弦函数项的叠加,其周期也为2π。
包含同态解后方程最一般解。
傅立叶分解输入函数。
分离求各正弦项特殊解。
叠加原理求最终周期解。
检查解也为周期函数。
包含同态解得一般解。
根据积分上限确定δ函数所在位置。
积分值等于函数在δ函数位置的值。
闭区间包含δ函数位置,开区间不包含。
分别求连续部分的导数。
以δ函数表示离散跳跃,确定位置和幅值。
总导数为连续部分导数加δ函数求和。
阶跃函数的一般导数包含δ函数。
非连续函数同样,δ函数表示跳跃。
连续与离散部分分开处理后相加。
注意δ函数位置和幅值的确定。
绘制可以直观了解一般导数。
是方程在F(t)=δ(t)力下零初值条件下的解。
δ(t)表示脉冲,引入不连续性。
解法是考虑系数变化后求新初值条件下的解。
是方程在F(t)=u(t)力下零初值条件下的解。
u(t)表示阶跃函数,无不连续性。
直接求方程同域内阶跃函数下新的特解。
一阶线性方程单位脉冲响应考虑δ(t)引起的初值不连续。
二阶线性方程单位脉冲响应初值跳变位置与系数相关。
绘制示意图分析响应特征。
区分单位脉冲响应和单位阶跃响应的不同之处。
卷积是一个用于将两个函数组合为第三个函数的特殊操作。符号是F(t) * G(t)。
卷积的定义公式是:
F(t) * G(t) = ∫from 0 to t F(u)G(t-u) du
它通过将第一个函数F(u)与第二个函数G(t-u)相乘,然后将其在u上积分来组合两个函数。
卷积操作具有交换性,即F(t) * G(t) = G(t) * F(t)
卷积的拉普拉斯变换等于两个函数拉普拉斯变换的乘积。
通过例子可以看出,卷积的结果与原函数形状不同,且存在随机常数项。
卷积1函数等于原函数本身,即F(t) * 1 = F(t)
改变卷积中积分变量可以计算卷积。
卷积是搭配拉普拉斯变换很常见的一个线性操作,它可以将两个函数组合成第三个新函数。它具有交换性及其他特殊属性。通过公式或例子可以计算出卷积结果。
模拟器可以通过一个酶变示例来帮助理解卷积积分。
示例描述一个湖中含有营养物质(如磷酸)的变化过程:
农场流入湖中污染物以固定率增加营养物质浓度。
湖中营养物质会以指数衰减的速度流出湖中。
求解在任意时间点湖中营养物质浓度。
模拟器设置输入信号f(t)表示污染物输入率,衰减函数g(t)表示流出率。
可以选择不同的f(t)和g(t)函数,调整时间步长。
每时间步长:
计算输入信号值
与衰减函数值相乘
加sum到总浓度上
以近似卷积积分求解过程。
总浓度随时间增加后趋于稳定,峰值出现在输入信号峰值后。
当步长趋于0,过程正式描述为卷积积分公式。
模拟器通过动画演示了卷积积分计算总体变化量的原理,有助于理解卷积定积分的物理意义。
(1) 定义卷积公式为F(τ)乘G(t-τ)然后积分。
(2) 计算T与T卷积,得出结果为1/6T^3。
计算e^(-Kτ)与e^(a(t-τ))的卷积,得出结果为e^(aT)-e^(-KT)。
求解方程X′+KX=e^(aT),初值条件X(0)=0,利用格林公式:
X(t)=卷积(e^(-KT),e^(aT))=1/(a+K)(e^(aT)-e^(-KT))
通过计算多个卷积,理解卷积积分的物理意义;利用卷积结果和格林公式,求解具有初值条件的微分方程。视频中给出了利用卷积及格林公式解微分方程的全过程。
这次课主要介绍了拉普拉斯变换的来源。
拉普拉斯变换是用来解析微分方程的常用方法。它可以将函数与时间相关的积分转换成与频率相关的函数。
拉普拉斯变换源于紧密相关的幂级数。幂级数可以表示为:
f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…
其中an表示系数。将其离散求和变成连续求积分,就是拉普拉斯变换。
具体来说,将系数从离散变量n变成连续变量t,将求和变成从0到无穷大的积分。同时,将x变量替换为e的((-s)次方)。这样就构成了拉普拉斯变换的基本形式:
L{f(t)} = F(s) = ∫_{0}^{∞} f(t)e^{-st} dt
其中F(s)表示拉普拉斯变换后的函数,与原函数f(t)的变量不同。这就是拉普拉斯变换与一般微分算子不同之处。
两种常用的拉普拉斯变换记号法也给出。一种是用大写字母表示变换后的函数,另一种是用小骰子表示。
这是拉普拉斯变换的基本来源及记号,后续会讨论它在解析线性微分方程中的应用。
拉普拉斯变换是求函数的积分,为了保证积分收敛,函数的增长速度不能太快。
函数f(t)的增长速度必须小于等于某个指数函数:
| f(t) | ≤ Ce^kt |
其中C和k都是正常数。此条件称为“指数型条件”。
满足指数型条件的函数包括:
| 正弦函数sin(t),因为 | sin(t) | ≤1 |
不满足条件的函数包括:
这就是拉普拉斯变换求解线性常系数微分方程的基本流程。
拉普拉斯变换定义为函数f(t)在s参数下的表达式:
L{f(t)} = ∫_0^+∞ f(t)e^{-st} dt
其中f(t)代表被变换函数,s代表复参数。
L{1} = 1/s
L{e^{at}} = 1/(s-a)
其收敛域为Re(s-a)>0。
L{Δ(t)} = 1
Δ函数的拉普拉斯变换定义域为整个s平面。
若f(t)可以表示为f_1(t)+f_2(t)+…,则其拉普拉斯变换为:
L{f(t)} = L{f_1(t)} + L{f_2(t)} + …
L{cos(ωt)} = s/(s^2+ω^2)
L{sin(ωt)} = ω/(s^2+ω^2)
拉普拉斯变换定义域为保证积分收敛的Re(s)区域。不同函数可能有不同的收敛域。
拉普拉斯变换中,函数F’(t)的拉普拉斯变换等于s×F(s)-F(0)。
当分母可因式分解时,可以使用分式分解公式变形分母,使函数形式适用于拉普拉斯反变换表。
分式分解公式的形式为:F(s)=A×(s-a)^{-1}+B×(s-b)^{-1}
确定分式分解系数A、B的方法有:平分法和覆盖法。
使用分式分解后形成的各部分函数,均可使用拉普拉斯反变换表进行反变换。
f(t)=1/(s^2-4) –> 分式分解后求反变换结果。
f(t)=s^2/(s^2+4) –> 长除法分式化后求反变换结果。
f(t)=e^(-5s)/(s^2-4) –> 使用平移公式求反变换结果。
求一个复杂函数的分式分解形式,留分式分解系数不求值。
针对上一步的分式分解结果,写出其拉普拉斯反变换表达式形式。
利用拉普拉斯变换,可以将初始值问题转换为代数方程问题求解。
对差分方程两边取拉普拉斯变换,并利用导函数变换公式将导函数变换为函数本身。
解出拉普拉斯变换域中的方程,再取其反变换即可得到时域中的解。
求解过程:取拉普拉斯变换后,利用分式展开化简为部分分数形式。
解得X(t)=1/2e^-2t(t>0)+5/2。
等价初始值问题:X’‘+2X’=5,X(0-)=3。
取拉普拉斯变换后,利用分式分解公式化简。
解得X(t)=1/9-1/9cos3t(t>0)。
拉普拉斯变换很方便地将差分方程问题转换为代数方程问题,通过分式分解和求反变换即可得到时域解。它是解决初值问题的有效方法。
极点图用来描述拉普拉斯变换下系统方程的极点位置。
用于描述线性时不变系统dy/dt=f(t)的稳定性。实部负数位置的极点对应稳定系统。
根据极点位置判断衰减速度:衰减越快,极点距原点越远。
稳定系统:B、C、D、E。
衰减最快系统:C,对应指数项e^(-3t) .
无振荡衰减最快系统:B,对应指数项e^(-2t).
极点图添加J系统极点:0.5±4i,-3,-4。
输入F(t)=F0cosΩt,寻找Ω最大响应值。
最大响应当IΩ离极点最近,这里Ω=4对应的IΩ极点0.5+4i最近。
极点图反映拉普拉斯域下系统特征,可用于分析稳定性、衰减速度和谐振现象等。通过极点位置理解系统时域行为。
本节将学习微分方程系统。微分方程系统包含多个不变量,每个变量都有自己的微分方程。
系统的常见类型包括:
系统的形如:
x' = f(x, y, t)
y' = g(x, y, t)
每一方程对应一个变量的变化率。
初始条件数量应与系统中的不定积分常数数量相同。一阶系统中的不定积分常数数量等于方程数。
考虑一个含有蛋黄和蛋白两部分的鸡蛋在水里烤制的模型:
根据热导率定律,可以写出两个方程:
T1' = -a(T1 - T2)
T2' = a(T1 - T2) - b(T2 - Te)
这里a和b分别代表不同介质的热导率常数。
这个模型将一个均质体的烤鸡蛋问题,细分为两个不同介质下的温度变化问题,形成一个微分方程系统。
给定线性系统:
X' = 6X + 5Y
Y' = X + 2Y
将其写为矩阵形式:
[X' Y'] = [6 5][X Y]
给定二阶差分方程:
X'' + 8X' + 7X = 0
将其写为系统形式:
设置Y = X’
得到系统:
X' = Y
Y' = -7X - 8Y
写为矩阵形式:
[X' Y'] = [-7 -8][X Y]
给定模型:
X' = X - 3Y
Y' = X - Y
判断X和Y代表何种生物:
分析X’和Y’之间的关系可知,Y增加时X减少,说明Y为捕食者,X为被食物。
老师将前次讨论的一个系统方程组问题通过法求解,这次将使用矩阵法求解。
将两个未知量T1(蛋黄温度)和T2(蛋清温度)改为未知量x和y。用矩阵形式表示这个二元一次微分方程组:
(x,y)’ = A(x,y)
其中A为参数矩阵:
A = [-2, 2; 2, -5]
假设系统方程组的试解为:
(x,y) = (a1,a2)e^λt
其中(a1,a2)为未知系数向量,λ为未知指数。
将试解式代入原方程组,利用指数函数的微分性质,可以得到λ,a1,a2相关的代数方程组:
(-2-λ)a1 + 2a2 = 0 2a1 + (-5-λ)a2 = 0
将λ看作参数,方程组可以简化为齐次线性方程组关系a1和a2:
(-2-λ)a1 + 2a2 = 0 2a1 + (-5-λ)a2 = 0
根据线性方程组主定理:当方程组系数矩阵行列式为0时,方程组才有非零解。
行列式为0得出λ的范围值,从而确定系统方程组的一般解。
有一个圆形鱼缸被分成三个隔间,分别放置不同类型的鱼。由于开启加热器被遗忘,所以三个隔间的温度会随着时间的推移偏离最佳值,并趋向于平均值。
我们用$X_1,X_2,X_3$表示三个隔间的温度。由于隔间通过玻璃隔离,只能通过导热传播热量。设置等式描述三个隔间温度随时间变化:
\[\begin{cases} \frac{dX_1}{dt}=-a(X_1-X_2)-a(X_1-X_3)\\ \frac{dX_2}{dt}=-a(X_2-X_1)-a(X_2-X_3)\\ \frac{dX_3}{dt}=-a(X_3-X_1)-a(X_3-X_2) \end{cases}\]其中$a$表示导热常数。
写出此问题的特征矩阵为:
\[A=\begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}\]构建特征方程式:
\[|\lambda I-A|=0\]展开计算后得:
\[\lambda^3+6\lambda^2+9\lambda=0\]本问题的特征值有:$\lambda_1=0,\lambda_2=\lambda_3=-3$
其中$-3$是一个重复特征值。
视频讲解了特征值重复的情况,给出了一个三个隔间的温度变化问题。用导热方程建立模型,并通过计算特征方程得出特征值,其中一个特征值重复。
考虑线性系统:
\[\begin{cases} \frac{dX}{dt}=-3X-2Y\\ \frac{dY}{dt}=5X-Y \end{cases}\]用矩阵表达为:
\[\begin{bmatrix} \dot{X}\\ \dot{Y} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -3 & -2\\ 5 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X\\ Y \end{bmatrix}\]寻找该矩阵A的特征值即解:
\[|\lambda I-A|=0\]计算得特征方程为:$\lambda^2+4\lambda+13=0$
根据特征方程,特征值有两个复根:$\lambda_{1,2}=-2\pm3i$
取特征值$\lambda_1=-2+3i$时,求特征向量$V_1$,得到:
\[V_1=\begin{bmatrix} 2-3i\\ 1 \end{bmatrix}\]根据特征值和特征向量,可写出总解表达式:
\[X(t)=e^{-2t}(\cos3t,\sin3t)+Ce^{-2t}(-\sin3t,\cos3t)\]其中,C为任意常数。
根据线性系统性质,总解中实部与虚部线性无关,都可以视为单独解。
因此,总解也可以表示为两解的线性组合:
\[X(t)=C_1u_1(t)+C_2u_2(t)\]其中$u_1(t),u_2(t)$分别为实部和虚部解。
考虑线性系统:
\[\begin{cases} \dot{X}=6X+5Y \\ \dot{Y}=X+2Y \end{cases}\]用矩阵表达为:
\[\begin{bmatrix} \dot{X}\\ \dot{Y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 5\\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X\\ Y \end{bmatrix}\]计算矩阵A的特征值,即解下式:
\[|\lambda I-A|=0\]解得特征方程为:$\lambda^2-8\lambda+7=0$
特征值有:$\lambda_1=1,\lambda_2=7$
取$\lambda_1=1$时,解下式求特征向量$V_1$:
\[(A-\lambda_1 I)V_1=0\]解得$V_1=[1,-1]^T$
同理可求出$V_2$对应的$\lambda_2=7$
总解表达式为线性组合:
\[X(t)=C_1V_1e^{\lambda_1 t}+C_2V_2e^{\lambda_2 t}\]其中,$C_1,C_2$为积分常数。
教授给出一个竞争模型,描述两个州宣传旅游业的广告预算变化。假设广告预算的变化符合下列微分方程:
x' = -x + 2y
y' = -3y
其中x代表马萨诸塞州的广告预算变化量,y代表新罕布什尔州的广告预算变化量。
教授先解决这个微分方程组,得到特征值为-3和-1,对应的特征向量分别是(1,-1)和(1,0)。根据特征值和特征矢定理,给出方程组的通解为:
x = c1e^{-3t} + c2e^{-t}
y = -c1e^{-3t}
教授以不同的初始条件c1和c2,画出四个简单的特解曲线,其中pink色曲线表示c1=1,c2=0的解;orange色曲线表示c1=0,c2=1的解。
通过分析这四条特解曲线,教授推断出方程组中其他曲线都在朝原点收敛,但具体形式取决于特征向量,且特征值负数表示朝原点靠近。教授进一步解释说,由于方程是连续函数,所以随着初值的变化,轨道也会连续变化。
教授给出一个新的竞争模型微分方程组:
x'' = -x + b*y
y'' = -3y + c*x
并说明:
教授通过求解特征值和特征矢,得到方程组的通解表达式。并以不同初值画出几条特解曲线。
通过分析这些特解曲线,教授解释说随着时间的变化,各个状态的广告预算将形成一定的节奏性振荡模式。解出这个二阶微分方程组,可以获取状态之间竞争态势的定性变化规律。
以上内容详细阐述了如何通过数值模拟,对一阶和二阶非线性微分方程组求解,并结合实例分析解集各种可能的行为。给出了定量研究系统动力学变化的一种方法。
此视频讲解了相位肖像(Phase Portraits)。相位肖像描述了微分方程组的动态行为。
先介绍了2阶系统的相位平面及其特征点。在相位平面上,x轴和y轴分别代表系统中两个变量。系统的所有轨迹由其特征点决定。
特征点包括稳定点、弹性点和稳定结点。稳定点表示系统变量趋于0,弹性点表示系统会在其附近振荡,稳定结点表示系统变量趋于常数。
根据矩阵A的迹值和行列式,可以画出迹行列图确定系统可能的特征点类型。
介绍了具体问题:考虑矩阵A为$\begin{bmatrix}-1 & -1\ 1 & -C\end{bmatrix}$,求C增大从0到正值时,系统在迹行列图上的路径以及对应的特征点。
分析了C从0增大到正值时,系统在迹行列图上的五个具体节点,以及相应特征点的变化:
C=0时,特征点为两个复特征值,稳定的渐近螺线形轨迹;
C增大后,特征点为重复实特征值,不稳定的螺线形轨迹;
C再增大,特征点为两个实负特征值,稳定的结点;
C到临界值时,特征点为一个特征值为0,线性的关键点;
C继续增大,特征点一个正一个负,不稳定的鞍形轨迹。
通过该例子说明了特征点类型随系统参数的变化是连续变化的。
为了解第二阶微分方程组,我们需要找到矩阵A的特征值。特征值是方程λ^2 - Tλ + D = 0的解,其中T是矩阵A的迹,D是矩阵A的行列式。
根据迹T和行列式D的关系,我们可以划分T-D平面得到几何稳定性图:
当D = T^2/4时,特征值λ1 = λ2。根据迹T的正负,可分为两个重复实根情况:
当D > T^2/4时,特征值为互为共轭复数。根据迹T的正负,可分为两个条件:
当D = T^2/4时,特征值为等于0,形成周期性闭合轨迹,称为中心。
当D < T^2/4且特征值异号时,形成假双曲形,不稳定但部分稳定页面。
当D < T^2/4且特征值同号时,
以上情况绘制在T-D平面上即为几何稳定性图,根据图结构判断线性微分方程组的稳定性。
矩阵X被称为线性微分方程系统的基本矩阵。基本矩阵有两个重要特性:
X的行列式不等于0。这表示它的列线性独立。
X满足某个矩阵微分方程。设X是基本矩阵,求它关于变量t的导数,则得到AX,其中A是系数矩阵。
基本矩阵不唯一,它可以通过在右边乘以任意非奇异二乘二常数矩阵C得到。
设X为基本矩阵,其第一列表示一个特解,第二列表示另一个特解。则通解可以表示为:
x = X*[c1 c2]^T
其中c1,c2为任意常数。
如果矩阵A为1乘1的,即方程为单个微分方程,则其通解为:
x = e^At * c
其中c为任意常数。
与计算特征值和特征向量方法不同,这里将给出一个不需要利用特征值和特征向量的通解公式。
给定矩阵A,计算其指数需要以下步骤:
将初值问题转换成矩阵方程形式:u’=Au
定义矩阵指数e^At。它具有以下特点:
所以初值问题的通解为:
u(t)=e^Atu(0)
只需要计算e^At,然后与初值u(0)相乘即可得到解u(t)。
本节课主要讨论同质线性 differential 方程组的解法。目前有三种方法:
1.特征值法:求出矩阵的特征值和特征向量,构成通解。
2.指数矩阵法:直接计算矩阵指数e^At,解是e^At·X0。
3.耦合表达法:通过线性变换,将方程组“耦合”为对角形式,即独立的单项方程组,解出后代回原问题即得通解。
将一个两个室格的老式冰箱视为一个物理系统,求解其液体高度变化的微分方程组。
设室格1面积为1,室格2面积为2。当液体高度为x,y时,室格1和2液体流入流出速率为:
dx/dt = K(y-x)
dy/dt = K(x-y)/2
K为流速与压强成正比的参数。
通过观察问题本质找寻新变量:
设U=x-y,即两室格液面高度差。
设V=x+y,即两室格液面高度和。
代入原方程组得:
dU/dt = -KU dV/dt = 0
解出U=Ce^(-Kt),V为常数,再代回原变量即得通解。
本例说明通过物理意义找寻新的坐标系,可以将原问题“耦合”为对角形式,使解出过程更简单。
非线性系统通常难以求出明确解,但可以通过消除时间变量T,将非线性系统转换为一阶常微分方程。
设一个二元非线性系统为:
\(\frac{dX}{dT}=f(X,Y)\) \(\frac{dY}{dT}=g(X,Y)\)
Eliminating T:
\[\frac{dy}{dx}=\frac{g(x,y)}{f(x,y)}\]这样就将原来的非线性系统转换为一个一阶常微分方程。
这个转换的意义在于:一阶常微分方程相对来说更容易求解,有希望找到明确解或者隐式解。
包含时间变量T时,系统的解是参数方程形式:
\(x=x(T)\) \(y=y(T)\)
对应的几何图形是轨迹,表示随时间的变化。
消除T后,系统的解变成隐式函数关系:
\[F(x,y)=0\]对应的几何图形不是轨迹,而是积分曲线,只表示各点的斜率,但没有时间信息。
考虑一个简单的线性预食系统:
\(\frac{dX}{dT}=-X+Y\) \(\frac{dY}{dT}= -Y\)
Eliminating T,得到:
\[\frac{dy}{dx}=-x/y\]这可以直接求解为圆形解。
也可以从原系统参数解求implicit solution,结果同样是圆形轨迹。
这说明一阶常微分方程方法可以用来分析简单线性系统。
考虑一个常见的非线性预食系统:
\(\frac{dX}{dT}=-aX+bXY\)
\(\frac{dY}{dT}=cXY-dY\)
这是一个典型的非线性自立系统,难以直接求解。但可以通过上述方法转换为一阶常微分方程,获得隐式或者显式解,从而分析系统动力学特性。
本课要讨论的是非线性微分方程系统的求解方法。
首先,要找到系统的最简单解,也就是临界点解。临界点解即系统方程的右边等于零的点。在这个点,速度矢量为零,所以如果解从这个点开始,它就会永远停留在这个点,满足系统方程。
要找到临界点,需要求解方程f(x,y)=0 和 g(x,y)=0的解。这两个方程都是非线性方程,难度很大。通常需要依靠物理含义来猜测临界点的近似位置。
以简单的振荡锤为例。其方程为:
θ′=ω ω′=-2sinθ-ω
通过解方程ω=0,-2sinθ-ω=0,可以找到θ为0、π、2π等整数倍π时,ω都为0,这就是系统的临界点。
实际上,由于ω=0意味着θ位置不变,所以只有θ为0和π时的两个点才是真正的临界点。
这就是求解非线性微分方程系统最简单解的基本步骤:找临界点,并通过求解f(x,y)=0和g(x,y)=0来求解。
然后,以振荡锤系统为例,对具体求解过程进行详细介绍:
微分方程的物理意义
将二阶微分方程转化为第一个秩的系统
根据系统方程绘制θ-ω平面图,观察不同区域下系统的性质
使用迭代算法求近似解
考虑初始条件,绘制初值问题的数值解
分析解的周期性和稳定性等性质
与实际振荡锤运动情况进行验证
总之,详细介绍了如何根据给出的振荡锤非线性微分方程模型,通过理论分析和数值计算,获得系统轨迹图,并与现实情况相符。这给出了一个处理具体非线性微分方程系统的详细流程。
本视频讲解了如何对动态系统进行线性化,以及如何根据线性化后的Jacobian矩阵来研究非线性系统在临界点附近的行为。
考虑两个种群X和Y的捕食系统:
X' = X(3 - X - Y)
Y' = Y(1 - Y + X)
其中X代表猎物数量,Y代表猎食者数量。
通过令X’ = 0, Y’ = 0可以得到四个临界点:(0, 0), (0, 1), (3, 0), (1, 2)
在每个临界点周围求Jacobian矩阵:
(0, 0)点:Jacobian矩阵为[[3, 0], [0, 1]]
(0, 1)点:Jacobian矩阵为[[2, 0], [1, -1]]
(3, 0)点:Jacobian矩阵为[[-1, -3], [0, -3/4]]
(1, 2)点:Jacobian矩阵为[[0, 1], [1, 0]]
(0, 0)点:两个特征值均为正数,为不稳定节点
(0, 1)点:一个正一负,为鞍形点
(3, 0)点:一个正一负,也是鞍形点
(1, 2)点:特征值具有负实部,为稳定极限环
根据特征值及方程绘制每个临界点附近的局部相位图。
联接各局部相位图,得出系统整体相位图,揭示系统动态特性。
通过线性化技巧,成功分析了一个非线性动态系统在各临界点附近的定性行为,给出了系统长期动态特性的理解。
非线性自适应系统的状态方程中的右边没有时间t,只有状态变量x和y。非线性系数不能简单表示为ax加by。
要得到系统的几何图形,首先要构造其速度场。速度场的分量就是状态方程右边的函数f和g。速度场可以描述系统,并包含其解。
从函数的视角看,系统解呈双函数形式x(t)和y(t)。从几何视角看,将其绘制成参数方程,就成为速度场F的轨迹,就是处处都有正确速度的曲线。典型轨迹呈圆形,但被顺时针或逆时针追踪。
临界点对应系统解的常数解,对应速度场为零的点,即速度矢量为零。这里没有理由离开此点。具体地,它就是状态方程右边函数求偏导数为零的点。
闭合轨迹是周期性重复自身的轨迹。如圆形轨迹,顺时针或逆时针追踪闭合周期。
限周周期是闭合轨迹,同时也满足以下两个假设:1独立,周围没有其他轨迹;2稳定,在周围的轨迹都趋向于它。限周周期代表系统具有周期性行为。
考虑简单系统dx/dt=y,dy/dt=-x。其解呈圆周运动形态,描述系统具有周期性行为。
1.存在问题:给定系统是否包含限周周期,目前没有统一方法。 2.稳定性问题:周边轨迹是否趋于限周周期。 3.计算机是主要手段,需要根据物理问题提示寻找限周周期的大概位置及参数范围。