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数论是研究整数和它们之间关系的数学分支。它主要研究质数、素数表征、整数组成、同余、指数与对数等数学概念。
质数是只能被1和它本身整除的正整数,它包含2、3、5、7等。将一个大于1的整数所有质因子乘积即为它的最小质因子表示。从6->60每个整数都可以写成一个或多个质数的积的形式,这称为质数分解定理。
对于一个整数n,小于或等于n的且与n互质的正整数数量定义为φ(n),称为n的欧拉函数。φ(n)也等于n中含有的不同质因子的个数。例如φ(12)=4,因为1、5、7、11与12互质。φ(n)可以用于研究模数运算中的相关问题。
若a与b在模n下的剩余相同,则记作a≡b(mod n),称a同余于b模n。同余关系具有传递性、对称性和结合性。利用同余可以简化复杂问题,常用于求解线性方程组、密码学和计算机科学等领域。
快速幂算法可以高效计算整数的乘方。它利用了运算次方的乘法可以分为先乘后加的性质重复地进行。时间复杂度从原来的O(n)降低到O(logn)。快速幂算法广泛应用于计算机组成原理、密码学和大数计算等领域。
以上是本次视频学习数论概述和基本概念的中文知识笔记。内容详细而没有任何主观观点或冗余,希望能帮助对数论感兴趣的同学初始化学习。
利用同余关系可以简化计算,如解线性方程组。基本思想是:
例如:线性方程组可以转换成同余方程组,进而求解。
以上总结了本次视频对数论基本概念和同余算法原理的回顾,以及同余在应用中的几个常见场景。
| 如果一个整数a能被另一个整数b整除,则称b能整除a,记作b | a |
| a | b且b | a时称a和b是 associates |
任何大于1的整数都可以用仅有的一组质数及其正整数指数的乘积来唯一表示。
求最大公约数(GCD)的算法:
时间复杂度O(logb),广泛应用。
除求GCD外,同时求出x,y使得ax+by=GCD(a,b)。用于求限制同余方程组的解。
以上概述了数论在整数可除性与欧几里得/扩展欧几里得算法在求GCD中应用的基本知识。
用欧几里得算法求两个数的最大公约数GCD时,每一步都可以表示为:
a = q1b + r1 b = q2r1 + r2 … rn-1 = qnrn + 0
其中qi是整除数,ri是余数。
引入新的变量x, y满足:
x0 = 0, y0 = 1 x1 = 1, y1 = q1 x2 = q1x1 + x0, y2 = q1y1 + y0 …
其中qi是同欧几里得算法对应步的整除数。
若对任意一组互不相等的模mi(i从1到n),可以求出唯一的一个整数x,使x对所有的mi都有同余关系。
以上详细介绍了欧几里得算法的工作原理和过程,以及在扩展版本中求解同余方程的应用。
埃氏筛法:
时间复杂度O(nloglogn)
任意一个大于1的整数n,在n的质因子分解中都包含无限多个质数。但是对于任意一个质数p,它出现的次数有限。
用于判断一个整数是否为某个质数的n次剩余。对密码学和同余数论有重要应用。
以上概括介绍了数论中有关质数的基本知识。
如果函数f满足对任意互质正整数a,b来说:
f(ab)=f(a)f(b)
则称f是一个乘法函数。
典型例子:欧拉函数φ(n)、真函数ψ(n)都是乘法函数。
当n为质数时,φ(n)=n-1 当n为合数时,φ(n)≤n(1-1/p)其中p为n最小质因子
这可以用于欧拉函数的上、下估计。
μ(n)定义为:
它可以反演λ函数得到数论函数的表达式。
以上概括介绍了乘法函数在数论中的基本概念和性质。
二项式系数定义为: (x+y)^n = ∑{k=0}^{n}(^{+n}{k})x^{k}y^{n-k}
其中(^{+n}_{k})称为二项式系数。
利用乘法原理归纳推导这个重要公式。
此视频笔记系统地总结介绍了二项式系数的基本概念与性质,以及它在数学、概率等领域中的应用。
欧拉函数φ(n)可以表示为:
φ(n)=n(1-1/p_1)(1-1/p_2)…(1-1/p_k)
利用二项式定理展开得出更精细的公式。
| 利用二项式定理性质,可以得到Σ_{d | n}φ(d)=n的等式。这对数论関数的研究很重要。 |
斯特林数可以表示为:
n! = Σ_{k=0}^{n}(-1)^k(^{+n}_{k})(n-k)^n
用于连同计数问题。
二项式卷积在投影补间插值与多项式近似解微分方程中有应用。
统计词汇出现频率分布可以应用二项式分布建模。
利用二项式定理扩展伯努利 trial的概率计算到一般事件的场景。
以上应用展示了二项式系数在不同学科中的广泛应用场景。
如果a对m的余数等于b对m的余数,则称a同余于b模m,记为a≡b(mod m)。
如果a≡b(mod m),则对任何算数表达式F(x),都有F(a)≡F(b)(mod m)。
如果xi≡ai(mod mi),i从1到n,则存在一个最小的x,对所有i有xi≡ai(mod mi)。
以上概括了同余关系的基本定义和重要性质,以及在不同领域的应用。
如果p是素数,对任意正整数a不大于p-1,都有:
a^p ≡ a (mod p)
假设a^p ≡ b (mod p),其中0 ≤ b ≤ p-1 利用同余关系和排除法可以得出b必须等于a。
对任意四个正整数a,b,c,d,如果其中三个互不相同,则不成立:
a^n + b^n = c^n
目前没有严格的证明。
考虑模m情形下,留守定理取代法马小定理作用。留守定理是模大于2的素数m下类似的结论。
法马小定理可以推广为剩余体和GALOIS场论,在数论与抽象代数中都很重要。
此视频总结介绍了法马小定理这一重要定理在数论中的意义,以及其推广和应用。
如果大于1的整数n和整数a互质,则有:
a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
其中φ(n)是n的欧拉函数。
利用集合论证明:将正整数个元素分成若干互不影响的循环集合。
考虑多个不同模下的同余关系,用以求解同余方程组。
欧拉定理等同产生一些性质强的数论函数如莫比乌斯函数和欧拉函数。
以上总结了欧拉定理在数论中重要性,以及它在推广algbera结构和其他数学领域中的应用。
如果n是一个质数,则(n-1)!+1对n取余为0。
1) 将{1,2,…,n}划分为若干个长度为n的循环集合
2) 统计每个集合元素的乘积对n取余为0
3) 所有集合乘积和为(n-1)!
4) 加上1后对n取余也为0
1) 判定是否为质数的必要条件
2) 推广欧拉定理,在任意模下计算阶
3) 同余方程组的解
4) 组合次式的推导
仅对质数成立,但提供了更深入的理解素数定理背后的原因。
与法马、欧拉定理一起构成基础数论定理体系。
本节总结了维尔森定理在证明、应用和在数论系统中的地位。
若对于任意m1,m2,…,mn在Z+,且两两互质,那么方程组:
x≡a1(mod m1) x≡a2(mod m2) … x≡an(mod mn)
必然有唯一解x,且0≤x<m1m2…mn
设M=m1m2…mn,则解为:
x=a1s1+a2s2+…+ansn(mod M)
其中si满足si≡1/mi(mod mi),其他mi为0
利用同余关系性质和反演元的存在性证明方程组有唯一解。
总结了中国剩余定理在数论和其它领域中的重要意义。
对任意正整数n, euler函数φ(n)定义为小于等于n且与n互质的正整数的数量。
φ(n)是乘法函数
对质数p,φ(p)=p-1
φ(ab)=φ(a)φ(b)若a和b互质
φ(n)<n
φ(n)>n/2 当n不是质数平方时
φ(n)<n(1-1/p) 当n=pq时
欧拉定理估计模高次剩余
分析阶与次阶
RSA加密体系结构
计数理论问题
整数拆分等
总结欧拉函数在数论和密码学等领域的重要性。
本节介绍了数论基本算数在计算机上的实质实现。
本节进一步介绍数论计算在大数和高效算法中的实践。
将整数n不断地细分为较小整数的乘积,直到无法继续分解为止。
从2开始尝试所有小于等于根号n的素数进行模除,可分解合数的最小素因子。
利用埃氏筛法快速获取大量素数组成的素数表。
若n为合数,则必然存在a,b使其等于ab,a和b都小于n。
在有限数域Z/pZ中进行试除,加快整体速度。
利用平方法剥离n的完全平方因子。
返回n的所有质因子以及它们的指数。
以上概括了整数分解的基本思路和常用算法。
保密性:仅掌握密钥可以解密。 真实性:难伪造消息来源。 不可否认:难否认发送或接收消息。
量子计算对现有算法安全性影响重大,探索光量子密码。
总结数论在密码学基础和现代发展中的重要应用。
若f(x)在模p下有根α,则若f’(α)≠0(mod p),f(x)在模p^k下必然也有根。
求模p下根α
求连续多项式T(x)近似根
根α反复“提升”构造模p^k下根
以α作为初值,利用f(x)/(x-α)近似连分数近似根。
多项式应满足定条件收敛
求多项式模整数下的零点
数论、代数几何与密码学构造
整数因子分解及模运算
总结Hensel提升原理与Newton迭代法在数论中的应用。
设p为质数,对任意整数x,通过其模p aside展开 unique形式:
x = a_0 + a_1p + a_2p^2 + …
则{a_i}构成x在模p下的p进展开。
p进模下两数之差的模必有退出项。
每个 rational数都有唯一p进展开。
p进数体是一个完备局部域但不是archimedean。
利用完备性求多项式根。
构造局部域和adèle理论。
代数数论和模形式理论。
数值计算和密码体系。
总结了p进数在数论和相关领域的基本概念与应用。
如果a对p的余数等于b对p的余数,则a同余于b模p,记为a≡b(mod p)。
同余关系将整数划分为互不重合的等价类,称之为同余类。
如果模数p是素数,则Zn模p上具有有限体的结构和性质。
运算精确表示同余类,包括加法、乘法和幂运算。
如果a≡b(mod p),则任意多项式f(x),都有f(a)≡f(b)(mod p)。
总结模素数下同余关系及其在有限域结构中的应用。
如果p为素数,f(x1,…,xn)为模p多项式,则方程组:
f(x1,…,xn)≡0 (mod p)
有非全零解。
构建多项式在有限域上的定义域,利用代数闭环性质成立。
推广过法马小定理
攻击有限域上同余方程组的可解性
密码学的同余攻击
表示理论和数论函數的性质
组合数学中理论的推广应用
有限独立随机变数理论基础
场论、编码论和奇异点计算中的应用
总结这个定理在多个数学领域的重要意义。
如果整数g relatibe于模n满足:
1≡g^0, g≡g^1, …, g^(n-2)≡1(mod n)
但g^(n-1)≠1(mod n),则称g是n的原始根。
1) 计算g的各次方(mod n)
2) 检查是否产生所有非零同余类
当n为素数时,原始根存在若且仅当n-1为2的整数次方。
1) 欧拉函数估计
2) 切比雪夫函数估计
3) 离散对数问题
4) 密码协议构建
5) 同余指数系统
总结了原始根在数论中的定义、检验方法及其重要性应用。
令p为素数,n=p^k,原始根定义为:
g^(p^k-1)=1(mod p^k) 所有非零剩余类出现一次
当k=1时,与素数情况一致
当k≥2时,原始根可能不存在
| 当p≠2,存在充要条件:p−1 | φ(p^k) |
| 当p=2,存在充要条件:2k−1 | φ(2k) |
计算φ(p^k)
筛选满足条件的g
验证g的各次方是否生成所有类
存在则输出,否则无原始根
总结了素数冪下原始根的定义、存在条件及求解算法。
若p为素数,则方程组:
x^2≡a(mod p)
等价于求同余类[√a]。
计算a的前p-1次方作为同余类
利用扭率求解同余方程
若有解则有两个解,否则无解
总结二次同余方程在有限域上的求解及其应用。
对给定钝p和系数域Fp,求多项式f(x)在Fp[x]模下的根。
若f(x)monic,则根个数等于f(x)模p剩余类数。
利用Hensel提升从模p根得到模高次冪根
直接投掷法-随机选x求f(x)%p,达0即为根
Berlekamp算法-利用加法关系求所有根
根数量与模大小及系数相关
多项式形态影响求根难易
Hensel选根定理保证唯一构造
整数因子分解
代数代数及代数曲线
编码理论与密码构造
总结了模下多项式根问题的含义、求根方法以及其在相关数论应用中的应用。
总结群论中的基本概念,以及它在数论中的重要应用范畴。
设G1,G2为群,则集合G1×G2带有(g1,g2)(h1,h2)=(g1h1,g2h2)运算为直积群。
阿贝尔情况下等价于原群的乘积
非阿贝尔情况下新群容量为原群容量积
元素表达为ordered pair,同态映射对群处理一一对应
选定正规子群N≤G,商群G/N与G形成半直积。
相同结构同态相对应的直积称为分块。
理解复杂群结构分解
表征理论及模形式构造
编码与密码协议设计
总结群的直积及相关概念,及其在数论与相关领域中的应用。
整数环Z,多项式环Z[x],数体分解域等都是常见的数论环。
具有加法与乘法两门运算
加法组成阿贝尔群,乘法满足 Distributive 律
乘法不一定满足交换律
Z下的最小四刚形成主理想,代数对象的商构造理想概念。
整数除掉素理想分解得到唯一分解域的概念。
Z[√-5]下每个理想均分解为素理想的乘积。
理解复杂代数结构,数论簇分解问题。
整数分解,复分析,代数几何与逼近论等。
总结数论 ring的基本概念及其在数论各个领域中的应用。
域扩张与体特征(有限扩张等),体特征等类问题。
区分有理数与代数数
唯一分解域理论
类域理论
模态形式与表示理论
整数划分问题
整数表示理论
代数几何与曲线理论
复析与伽罗瓦理论
总结数论中重要域的定义及其在相关数论理论中的重要性。
如果存在整数x使得x^2≡a(mod p),则称a模p为二次剩余,否则为二次非剩余。
(a/p)用来表示a模质数p的二次剩余性质:
(a/p)=1表示a是二次剩余
(a/p)=-1表示a是二次非剩余
广义化法拉第符号定义于任意整数上,性质与法拉第符号类似。
总结介绍了二次剩余与相关概念在数论中的重要性与应用。
对于奇素数p和正整数a,定义莱让德符号为:
(a/p) = { 1, 如果a是平方根的平方余数 {-1, 如果a不是平方根的平方余数 { 0, 如果a能被p整除
判断a是否能被p整除
使用二次同余求解x^2 ≡ a (mod p)
根据解存在性判断符号值
总结了莱让德符号在数论中的定义和计算方法。
如果p和q都是奇素数,则有:
(p/q)=(q/p)(-1)^((p-1)(q-1)/4)
将问题转化为实数代数域的二次剩余问题
应用质数标准型理论计算有限Abel群的二次字符
运用本原字符性质及二次字符函性得证
总结二次互反律定理在数论中的重要地位及其证明思路。
对任意素数p:
G(χ) = Σ_{a=0}^{p-1} χ(a)e^{2πia/p}
这里χ是模p的基本字符。
总结高斯和在数论和相关领域的定义、计算方法以及重要应用。
对于奇素数p和正整数a,定义Jacobi符号为:
(a/p) = (─1)^(p-1)(p-3)/8 × (a/p)
其中(a/p)是相应的莱让德符号。
同莱让德符号,分为三种情况计算:
总结Jacobi符号在数论中的定义及其与莱让德符号的关系。
对任意整数m,n定义称为克罗内克符号:
(n/m) = x satisfing x^2 ≡ n (mod m) if exists; = 0 if not exists
总结克罗内克符号的定义、计算方法以及在数论和相关领域中的重要应用。
若a0为整数,存在整数序列{an}使得:
x = a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/a3 + …))
则称x可表示为无限连分数.
总结无限连分数在数论及相关领域中的基本概念和应用。
二次型为ax^2+bxy+cy^2形式,a、b、c为整数。
两二次型具有同一组整数解即为同值。
f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2 = d
求整数解的数量与则数性质相关。
通过同置换和缩放将二次型转化为等值型。
可将所有同构二次型归入计算容易的标准型。
利用同构找到标准型
根据标准型属性计算解数
解定式与算术进函数关系
素数定理、整数分解、模形式、代数体等。
总结二次型在数论中的基本概念及其与整数解之间的关系。
设D为 discriminate,二次型表示为:
f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2
如果存在定矩阵使得两二次型关系为:
f(x,y)=f’(x’,y’)
则称它们等价。
等价关系划分二次型为等价类。
每一个等价类内有唯一标准型:
x^2-Dy^2 (D>0)
或 x^2+xy+y^2(D=-3)
通过整行整列元素的加减法等矩阵变换实现。
总结二次型等价关系的基本概念及其在数论中的重要意义。
正定二次型为ax^2+bxy+cy^2,需要满足discriminantΔ<0。
1) 一义型: Δ=-4ac, (-b±√Δ)x^2
2) 二义型I: Δ=-3, x^2+xy+y^2
3) 二义型II: Δ=-3, x^2+y^2
任何正定二次型都等值于上述基本型之一。
利用同余定理得出解数公式:r(d)=4(d+3τ(d))/12
利用勾股函数τ(n) counting完成平方和为n的三元组。
总结了正定二次型的分类与基本解法,以及其在各数论研究领域中的应用。
形式为f(x,y)=x^2,对应整数为完全平方数。
D=b^2-4ac,视D性质区分等价类:
总结二次型的更多实例,并阐述等价类与数论对应关系。
当判别式D<0时,二次型称为不定二次型。
对应素数差的正负凑数问题。
与Pell方程等价,求整数解对应find chains of embeddings.
等价于模3下的二次剩余,与二次互反律相关。
等价于模5下的二次剩余,与二次互反律相关。
总结不定二次型的实例及其在数论中的重要意义。
高斯整数定义为形如a+bi的复数,其中a,b为整数,i^2=-1。
高斯整数环的理想类群描述其代数结构。
总结高斯整数在数论及相关领域中的基本定义与重要性。
如果存在正整数a,b,c满足a^2+b^2=c^2,则(a,b,c)为毕达哥拉斯三元组。
1) 使用现有三元组(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2)扩张得到新三元组
2) 奇整数半周长恒等于两倍整数周长的方法
任何三元组的大小均有边长上限,所以毕达哥拉斯三元组数量有限。
总结了毕达哥拉斯三元组在数论中的定义、构造方法及其应用。
设函数a(n)在正整数集上定义,则其德德金序列定义为:
f(s) = Σ_{n=1}^∞ a(n)/n^s
割函数与黎曼ζ函数
数论函数如π(x) Dirichlet L函数
円周率近似与解析接续
素数定理与分布质量函数
阿贝尔摺积与谱半群理论
总结德德金序列在解析数论和相关数学领域中的基本概念及应用。
设f(s)和g(s)为两个德德金序列,则它们的乘积为:
h(s) = f(s)g(s) = Σ_{n=1}^∞ a(n)b(n)/n^s
ζ(s)ζ(s-1)=ξ(s)
L(χ,s)L(χ,1-s)=ε(χ)
ζ_K(s)描述阿贝尔数域信息
总结德德金序列乘积在解析数论和相关数学领域中的应用。
π(x)~x/ln(x), 当x趋于无穷大时
π(x)为不大于x的素数数量函数
使用ζ(s)的零点论证
通过解析接续求极限
使用Dirichlet系列技巧处理
总结素数定理在数论史和现代数论中的重要意义。
π(x)~x/ln(x),其中π(x)表示不超过x的素数个数。
引入切比雪夫函数ψ(x),求和式表示π(x)
利用算术-几何平均值不等式界定π(x)
亥沛公式将ψ(x)与x/ln(x)联系
得出π(x)~x/ln(x)估计公式成立
构造ζ(s)函数与π(x)关系
ζ(s)函数解析延拓
应用剪辑积分公式求极限
得出π(x)~x/ln(x)结论
总结了利用两种方法证明素数定理的基本思路。
在任意有限域F中,非全零同余线性形式f(x,y)总有整数解。
f(x,y)同时取有限多个整数值。
对应每个整数d,解的数量随d增长。
极部定理提供解集密度估计。
将问题转化为复杂Analytic数论问题
应用复变量函数理论工具,如积分公式
控制积分只关注零点附近,取得有理解集
结合二次卷积得到结论
解决了整数表示问题,分析原始类群表示。
字符理论、模形式、代数几何基础。
总结德德林德定理在代数数论中的集中地位。
设p为正素数,χ为模p的字符,若满足:
1) χ(ab) = χ(a)χ(b)
2) χ(a) = 0 当p∤a
3) χ(1) = 1
则χ为模p的字符。
Lp(χ, s) = Σa=1∞ χ(a)/as
为模p下字符χ的L函数。
总结模拟字符在解析数论和相关数学领域中的概念与应用。
设χ为非平凡模p字符,则Lp(χ,s)仅有一个导数为零的极点,且位于s=1点。
定义 Dirichlet 系列 Gp(χ,s)
分析 Gp(χ,s) 在单位圆上的特性
利用庞加莱不变量定理ilate Gp(χ,s)
求导数得证Lp(χ,s)仅有一个零点s=1
总结狄利克雷定理的严谨证明思路及其在数论中的重要意义。
若字符χ为原始字符,则Lp(χ,1)≠0。
定义模p下Dirichlet系数Cp(χ)
利用非平凡Lp(χ,s)的解析继续性
当s→1时,Cp(χ)与Lp(χ,1)的关系
证Cp(χ)≠0,从而推 Lp(χ,1)≠0
总结Lp(χ,s)在s=1处非零的严格证明思路及其在解析数论中的重要性。
用于处理数论函数如ζ(s)、L(s)等德德金序列在复平面上的值。
判别式计算二次型的等价类
整数问题如互差、约数功能
同余方程求解,二次剩余性测试
Finite Fields 和 Galois 群运算
整数因数和模操作
二次型标准型等价变换
Pell、模形式计算
数值精度 对π、e等常数求值限制
时间成本 指数运算需优化算法
表达式能力 限于实际计算需求
总结三类常用数论计算器及其在研究中的应用。